Movendo Média Brownian Motion

Brownian Motion e FOREX Market Por Armando Rodriguez Não seria uma primeira vez que uma formulação desenvolvida para fenômenos em um campo fosse usada com sucesso em outro, ele ainda tem um nome e é chamado de analogia. Existem muitos exemplos de analogias: a formulação para resolver estruturas mecânicas estáticas é a mesma que a usada para resolver redes elétricas, as notícias difundidas como tinta em água parada e tantos outros. Aqui estamos estabelecendo a analogia das mudanças no preço do mercado FOREX para o movimento browniano. Também as analogias são feitas não apenas para o gozo da simetria da natureza, mas geralmente após algum propósito prático. Neste caso, queremos saber quando um algoritmo de comércio não é susceptível de lucro e, portanto, a negociação deve ser suspensa. O movimento browniano do movimento browniano (nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown) referiu-se originalmente ao movimento aleatório observado sob microscópio de pólen imerso em água. Isso foi intrigante porque partículas de pólen suspensas em águas perfeitamente silenciosas não tinham razão aparente para mover tudo. Einstein apontou que esse movimento foi causado pelo bombardeio aleatório de moléculas de água (excitadas por calor) no pólen. Era apenas o resultado da natureza molecular da matéria. A teoria moderna o chama de processo estocástico e provou-se que pode ser reduzido ao movimento um walker aleatório. Um caminhante aleatório unidimensional é aquele que é tão provável dar um passo à frente como para trás, digamos, eixo X, em qualquer momento. Um caminhante aleatório bidimencional faz o mesmo em X ou Y (veja a ilustração). Os preços das ações mudam ligeiramente em cada transação, uma compra aumentará seu valor, uma venda diminuirá. Sujeito a milhares de operações de compra e venda, os preços das ações devem mostrar um movimento browniano unidimensional. Este foi o assunto da tese de doutorado de Louis Bachelier em 1900, a teoria da especulação. Apresentou uma análise estocástica dos mercados de ações e opções. As taxas de urrenia devem se comportar muito como uma partícula de pólen na água também. Espectro browniano Uma característica interessante do movimento browniano é seu espectro. Qualquer função periódica no tempo pode ser considerada como a soma de uma série infinita de funções de sinecosina de freqüências múltiplas para o inverso do período. Isso é chamado de série de Fourier. O conceito pode ser ampliado para funções não periódicas, permitindo que o período vá para o infinito, e essa seria a integral de Fourier. Em vez de uma seqüência de amplitudes para cada freqüência múltipla você lida com uma função da freqüência, esta função é chamada de espectro. A representação do sinal no espaço de frequência é o idioma comum na transmissão de informações, modulação e ruído. Os equalizadores gráficos, incluídos mesmo no equipamento de áudio doméstico ou no programa de áudio para PC, trouxeram o conceito da comunidade científica para o lar. Presente em qualquer sinal útil é o ruído. Estes são sinais indesejados, de natureza aleatória, de diferentes origens físicas. O espectro de ruído relaciona-se com a sua origem: o ruído de JnhnsonNyquist (ruído térmico, ruído de Johnson ou ruído de Nyquist) é o ruído eletrônico gerado pela agitação térmica dos portadores de carga (geralmente os elétrons) dentro de um condutor elétrico em equilíbrio, o que Ocorre independentemente de qualquer tensão aplicada. O ruído térmico é aproximadamente branco. O que significa que a densidade espectral de potência é igual ao longo do espectro de freqüência. O ruído de cintilação é um tipo de ruído eletrônico com um espectro de 1f ou rosa. Por isso, muitas vezes é referido como 1 ruído ou ruído rosa. Embora estes termos tenham definições mais amplas. Ocorre em quase todos os dispositivos eletrônicos. E resulta de uma variedade de efeitos, como impurezas em um canal condutor, geração e ruído de recombinação em um transistor devido à corrente base e assim por diante. Finalmente, o ruído browniano ou o ruído vermelho são o tipo de ruído de sinal produzido pelo movimento browniano. Sua densidade espectral é proporcional a 1f 2. Significando que tem mais energia em freqüências mais baixas, ainda mais do que o ruído rosa. A importância desta discussão é que, quando você calcula o espectro do sinal de taxa FOREX, ele tem uma dependência 1f 2, o que significa que também é de natureza browniana. Comportamento no tempo O comportamento do mercado FOREX na ausência de eventos também se comporta perfeitamente Brownian. Isso significa que as taxas FOREX se comportam como caminhantes aleatórios unidimensionais. A densidade de probabilidade de encontrar um caminhante aleatório na posição x após um tempo t segue a lei Gaussiana. Onde s é o desvio padrão, que para um caminante aleatório é uma função da raiz quadrada de t e isso é o que as taxas FOREX seguem para a perfeição experimental, como mostrado abaixo para as cotações EURUSD na figura 1. Uma expressão analítica para a figura acima com Taxas em pips e t em minutos a partir de um tempo inicial t 0: na média, existem 45 cotações EURUSD em um minuto, então a expressão acima pode ser colocada em termos da N citação depois de um tempo inicial. Drift and Random Motions O movimento das partículas de pólen pode ser dito ter dois componentes, uma natureza aleatória descrita acima, mas se o líquido tiver um fluxo em algum sentido, então um movimento de deriva é sobreposto ao Brownian. O mercado FOREX apresenta ambos os tipos de movimento, um componente aleatório de freqüência mais alta e movimentos de deriva mais lentos causados ​​por notícias que afetam as taxas. O movimento aleatório é ruim para o negócio de especulação, não há como média de lucro em um mercado perfeitamente aleatório. Somente movimento de deriva pode render lucros. A aleatoriedade do mercado não é constante no tempo e nem o movimento da deriva. Durante os eventos de notícias, os movimentos de deriva são grandes e é durante os eventos que os lucros podem ser feitos, mas há eventos mais limpos em que os algoritmos automáticos funcionam melhor e há sujos, com muita aleatoriedade, que podem conduzir o algoritmo mais inteligente para Perdendo. FOREX Market Currency Pair Temperature Em um sistema físico, a intensidade do movimento browniano de uma partícula pode ser tomada como o quadrado médio de sua velocidade aleatória e isso foi proporcional à temperatura e inversamente à massa das partículas. LtVrm 2 gt 3KTm A velocidade aleatória é a diferença da velocidade total menos a velocidade média ou de deriva. O verdadeiro sentido de uma velocidade de deriva seria a velocidade média de um grande número de partículas em determinado momento que indicaria que todo o corpo de partículas líquidas e suspensas se movia como um todo. Mas, uma vez que a velocidade aleatória deve ser média no tempo até zero, a média da velocidade de uma única partícula no tempo também é igual à velocidade da deriva. Na analogia do mercado FOREX, a taxa de par de câmbio é a posição de partículas unidimensional e, portanto, a velocidade em qualquer momento t é o movimento de cotação desde a última citação no tempo t 0 dividido pelo intervalo de tempo. A velocidade média seria a média móvel exponencial das cotações. A temperatura do par de moedas Tcp seria então: Tcp (m3K) ltVrm 2 gt A massa de um par de moedas é uma magnitude a ser definida, então a constante de Boltzman não tem significado aqui. Ainda assim, a intensidade média de longo prazo do movimento da taxa browniana é observada dependendo do par de moedas, então eles parecem mostrar massas diferentes. Encontrar a massa para cada par de moedas permitiria ter uma referência comum para a temperatura. Se tomarmos a massa de EUR como 1, então: as massas acima dão uma temperatura média semelhante a 300 K, que é igual à temperatura ambiente na escala de Kelvin que corresponde a 27 graus Celsius ou a 80.6 Fahrenheit. Mas, além da fanciness, não dá uma visão mais profunda do problema. Fazendo (m3K) 1, torna uma temperatura igual à variação das velocidades. Uma vez que a raiz quadrada da variância é o desvio padrão, essa definição de temperatura dá uma idéia de quão intenso é o movimento aleatório em pips. second. Detecção de eventos e temperatura de moeda Um evento de notícias que afeta o valor do dólar dos EUA pode ser detectado quando suas taxas para o resto das principais moedas mudam de forma consistente. Em outras palavras, quando os movimentos da taxa se correlacionam. (Ver apêndice A no cálculo do disparador de eventos) Uma expressão numérica dessa correlação é a média da diferença para a sua EMA (Exponential Moving Average) em todas as moedas principais. O problema com esta abordagem é que as moedas importantes a considerar não são muitas, na verdade apenas 6 pares podem ser usados. Uma média sobre uma amostra tão pequena não é imune contra o movimento aleatório e propensa a representar falsos positivos. A detecção poderia ser melhorada se a contribuição para a média for inversamente ponderada pela temperatura dos pares. Mais precisamente: ponderado pela probabilidade de a velocidade da taxa observada não ser devida à natureza browniana do movimento. Sabendo que a distribuição da velocidade em movimentos brownianos é gaussiana, na ausência de um evento, a probabilidade de observar uma velocidade abaixo de um valor V pode ser calculada pela área sob a curva de densidade de probabilidade gaussiana. Em palavras, a curva está nos dizendo: Considere o par EURUSD que geralmente mostra um ltVrm 2 gt de 2,94 pipssecond, as velocidades abaixo deste valor são observadas 68,2 do tempo, além de apenas 31,8. Então, é justo dizer que, se uma velocidade observada estiver acima, digamos 6 é muito improvável (4.4) que ela vem da aleatoriedade. A expressão matemática da probabilidade de uma velocidade V, não sendo aleatória é: P erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) Onde erf (x) é conhecido como a função de erro. A média de correlação ponderada será agora: APÊNDICE A A aproximação do evento TriggerStrong do movimento browniano fracionado, movendo médias de passeios aleatórios simples Paacutel Reacuteveacutesz por ocasião de seu 65º aniversário Tamaacutes Szabados Departamento de Matemática, Universidade Técnica de Budapeste, Egry u 20-22 , H eacutep. V em. Budapeste, 1521, Hungria Recebido 19 de dezembro de 1999, revisado em 29 de agosto de 2000, aceito em 4 de setembro de 2000, disponível on-line 9 de fevereiro de 2001 O movimento browniano fracionário é uma generalização do movimento Browniano comum, especialmente quando a dependência de longo alcance é necessária. Sua introdução explícita é devida a Mandelbrot e van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como um processo gaussiano auto-similar W (H) (t) com incrementos estacionários. Aqui, a auto-semelhança significa isso. Onde H isin (0,1) é o parâmetro Hurst do movimento Browniano fracionário. F. B. Knight deu uma construção do movimento browniano comum como um limite de passeios aleatórios simples em 1961. Mais tarde, seu método foi simplificado por Reacuteveacutesz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990) e depois por Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249ndash297). Essa abordagem é bastante natural e elementar e, como tal, pode ser estendida a situações mais gerais. Com base nisso, aqui usamos as médias móveis de uma seqüência aninhada adequada de caminhadas aleatórias simples que quase certamente convergem uniformemente para o movimento Browniano fracionário nos compactos quando. A taxa de convergência provada neste caso é. Onde N é o número de passos usados ​​para a aproximação. Se o mais preciso (mas também mais intrincado) Komloacutes et al. (1975,1976) é utilizada em vez disso para incorporar caminhos aleatórios para o movimento browniano comum, então o mesmo tipo de médias móveis quase certamente convergem uniformemente para o movimento Browniano fracionário em compactos para qualquer H isin (0,1). Além disso, a taxa de convergência é conjecturada para ser a melhor possível. Embora apenas seja provado aqui. Movimento browniano fracionário Construção do caminho Construção forte Caminhada aleatória Mover média 1. Movimento browniano fracionado O movimento browniano fracionado (fBM) é uma generalização do movimento browniano comum (BM) usado particularmente quando a dependência de longo alcance é essencial. Embora a história do fBM possa ser rastreada até Kolmogorov (1940) e outros, sua introdução explícita é devida a Mandelbrot e van Ness (1968). Sua intenção era definir um auto-similar. Processo gaussiano centrado W (H) (t) (t0) com incrementos estacionários, mas não independentes e com caminhos de amostra contínuos a. s. Aqui, a auto-semelhança significa que para qualquer um gt0, onde H isin (0,1) é o parâmetro Hurst do fBM e denota igualdade na distribuição. Eles mostraram que essas propriedades caracterizam o fBM. O caso reduz-se ao BM comum com incrementos independentes, enquanto os casos (resp.) Dão incrementos negativos (respectivamente) correlacionados ver Mandelbrot e van Ness (1968). Parece que nas aplicações do fBM, o caso é o mais utilizado. Mandelbrot e van Ness (1968) deram a seguinte representação explícita de fBM como uma média móvel de BM comum, mas de dois lados: onde t 0 e (x) max (x, 0). A idéia de (2) está relacionada ao cálculo fracionário determinista. Que tem uma história ainda maior do que fBM, voltando para Liouville, Riemann e outros em Samko et al. (1993). O caso mais simples é quando uma função contínua f e um número inteiro positivo são fornecidos. Em seguida, uma indução com integração por partes pode mostrar que é a ordem de antiderivada iterada (ou integral de ordem) de f. Por outro lado, essa integral também está bem definida para valores positivos não inteiros, caso em que pode ser chamado de uma integral fracionada de f. Então, heuristicamente, a parte principal de (2), é a integral da ordem do processo de ruído branco (no sentido comum inexistente) W prime (t). Assim, o fBM W (H) (t) pode ser considerado como uma modificação de incremento estacionário da integral fracionada W (t) do processo de ruído branco, onde.